复正弦函数余弦函数
正弦函数和余弦函数，是我们中学里学过的有界的周期函数，余弦函数图像可以看成是正弦函数图像向右平移得到，正弦函数是奇函数，通过原点，余弦函数是偶函数，正弦函数和余弦函数都有最大值1，最小值-1.如果将自变量扩展到复数的情况，复变量的正弦函数和余弦函数定义如下：
这个定义将指数函数和三角函数联系起来了，1740年10月18日，欧拉给伯努利的信中，求解一个二阶常系数的微分方程初值问题，通过计算给出的解是y(x)=2cosx,欧拉把这个解也用exp(ix)+exp(-ix)表示了，并且标注了正弦函数2isinx=exp(ix)-exp(-ix),1748年，欧拉第一次给出了欧拉公式如下：
上面欧拉公式推广到复数形式可以得到
上面的正弦余弦函数定义，可以看成从上面两个复指数函数方程中解出来的。
下面给出了复变余弦函数的实部，虚部，模和辐角的图形如下：
从图像中可以看出正弦值，实部和虚部都是沿着x轴成周期性变化的，y越大，实部和虚部的最大值就越大，最小值就越小，从模和辐角的图像可以看出来，余弦函数不再是有界的了。余弦函数在整个复平面上处处解析。
下面给出了正弦函数的图像，
复变量的正弦函数是奇函数，是沿着x轴周期变化的，没有最大值和最小值正弦值，在整个复平面上处处都是解析的。
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