，数学本来很有趣
圆有多重要，观察生活中圆的应用场景就能体会到：手机的摄像头、汽车的方向盘、车轮、房子的屋顶、喝水的杯子、炒菜的锅、精美的瓷器……
从圆的绘制过程可以看出，圆心决定了圆的位置，半径（或直径）决定了圆的周长和面积。
圆的周长=πD=2πr
圆的面积S=πr²
n°的扇形的面积S=n/360×π×r²
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重叠法与割补法
规则的图形可以直接利用公式求解。不规则的图形，往往需要将图形拆分、移动和重组，拼成规则的图形，然后再利用规则图形的相加或相减来进行求解。
方法一『阴影=整体-空白』：
阴影不规则，整体和空白是规则的。
方法二『重叠法』：
利用容斥原理，有重叠的部分相加-整体=重叠的部分
方法三『割补法』：
通过拆分和重组，把不规则的图形拼成规则的图形。
如何把不规则的图形，通过拆分和重组，变成一个规则的图形，是解此类问题的关键。
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例题与分析
例1.
如图，在一块面积为12.56平方厘米的铝板中，裁出了2个同样大小的圆铝板。问：余下的总面积是多少平方厘米？（π取3.14）
解析：
阴影是不规则的，但是整体和空白的部分都是规则的圆。利用公式“阴影=整体-空白”。
整体的面积12.56，所以大圆的半径R²=12.56÷π=4，所以大圆的半径R=2。
小圆的半径等于大圆半径的一半=2÷2=1。
所以阴影面积=πR²-2πr²=4π-2π=2π=6.28平方厘米
例2.
如图，正方形的边长为4，求阴影的面积。（π取3.14）
解析：
观察图形不难看出，阴影的部分是两个扇形交叉的重叠部分。
扇形1的面积=①+②
扇形2的面积=②+③
正方形的面积=①+②+③
利用容斥原理，阴影②的面积=扇形1+扇形2-正方形
图中的两个扇形的面积和正好等于一个半圆。正方形的边长=扇形的半径。
所以，阴影的面积=1/2πr²-r²=r²（1/2π-1）
=16×（1.57-1）=9.12
例3.
如图，图中的三角形都是等腰直角三角形，求各图阴影部分的面积。（π取3.14）
解析：
通过拆分和重组，得到下列图形。
通过拆分和重组，阴影面积转化为了规则的图形。
第1张图片的阴影面积=三角形面积=4×2÷2=4；
第2张图片的阴影面积=弓形面积=扇形-三角形=π/4×4²-4×4÷2=4.56
第3张图片的阴影面积=三角形面积=4×4÷2=8；
例4.
如图（1）是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径。如图（2）所示，让A点不动扇形面积公式3个，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点，请问图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
解析：
图形2的总面积=以AB为半径60°的扇形+以AC为直径的半圆。
空白部分的面积=以AB为直径的半圆。
因为图形是由半圆旋转得到，所以AC=AB。
通过重组把不规则的阴影转换成了规则的扇形
根据阴影=整体-空白，可得阴影面积=以AB为半径的60°扇形面积=60/360×πr²=1/6×π×9=1.5π。
例5.
A是半径为3的圆O外一点，弦BC∥AO且BC=3。连接AC、AB，求阴影部分的面积。（π取3.14）
解析：
连接OC和OB，由于BC∥AO，所以S△OBC=S△ABC，则阴影部分面积等于扇形OBC的面积。
△OBC为等边三角形，扇形的圆心角为60°，则S阴影=πr²×1/6=4.71。
例6.
如图，在半径为4厘米的圆中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积A与其他部分面积B之差（大减小）是 平方厘米。
解析：
把图形做下列拆分和重组：
可以看出A-B=绿色长方形面积=1×2×4=8平方厘米。
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练习题
1、图中4个圆的圆心恰好是正方形的4个顶点，如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？
2、如图（1）是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径。如图（2）所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转30°扇形面积公式3个，此时B点移动到C点，请问图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
3、如图三角形ABC为等边三角形，边长为2，D为BC边的中点。分别以B、C为圆形，1为半径作两个扇形（即图中阴影部分）。那么阴影部分的面积是多少？
4、如图是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4。图中阴影部分的面积是多少？
5、如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，阴影部分的面积是多少？
6、求下图阴影的面积。
注意事项：
1、拆分和重组是重点，要仔细观察图形，熟记常见的几何模型。
2、如果需要计算π的具体值，把π的换算放到最后一步，可以减少计算量。
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